《走进修仙》科普向 关于希尔伯特空间

  这里是道长的科普频道！
  正文里，我们的主角王崎第二次使用的金手指，是来自地球的大数学家大卫·希尔伯特的希尔伯特空间。
  由于不想再正文水字数，所以贫道将这个数学方法的科普贴在这里！有兴趣的书友不妨进来一看哦~
  阿尔伯特空间并不是确实存在的，而是抽象的、用于演算的工具，即相空间。
  每个读过中学数学的朋友应该都建立过二维的笛卡儿平面：画一条x轴和一条与其垂直的y轴，并加上箭头和刻度【也就是通常所说的平面直角坐标系】。在这样一个平面系统里，每一个点都可以用一个包含两个变量的坐标（x,y）来表示，例如（1,2），或者（4.3,5.4），这两个数字分别表示该点在x轴和y轴上的投影。当然，并不一定要使用直角坐标系统，也可以用极坐标或者其他坐标系统来描述一个点，但不管怎样，对于2维平面来说，用两个数字就可以唯一地指明一个点了。如果要描述三维空间中的一个点，那么我们的坐标里就要有3个数字，比如（1,2,3），这3个数字分别代表该点在3个互相垂直的维度方向的投影。
  让我们扩展一下思维：假如有一个四维空间中的点，我们又应该如何去描述它呢？显然我们要使用含有4个变量的坐标，比如（1,2,3,4），如果我们用的是直角坐标系统，那么这4个数字便代表该点在4个互相垂直的维度方向的投影，推广到n维，情况也是一样。诸位大可不必费神在脑海中努力构想4维或者11维空间是如何在4个乃至11个方向上都互相垂直的，事实上这只是我们在数学上构造的一个假想系统而已。
  我们所关心的是：n维空间中的一个点可以用n个变量来唯一描述，而反过来，n个变量也可以用一个n维空间中的点来涵盖。
  现在让我们回到物理世界，我们如何去描述一个普通的粒子呢？在每一个时刻t，它应该具有一个确定的位置坐标（q1,q2,q3），还具有一个确定的动量p。动量也就是速度乘以质量，是一个矢量，在每个维度方向都有分量，所以要描述动量p还得用3个数字：p1，p2和p3，分别表示它在3个方向上的速度。总而言之，要完全描述一个物理质点在t时刻的状态，我们一共要用到6个变量。而我们在前面已经看到了，这6个变量可以用6维空间中的一个点来概括，所以用6维空间中的一个点，我们可以描述1个普通物理粒子的经典行为。我们这个存心构造出来的高维空间就是系统的相空间。
  假如一个系统由两个粒子组成，那么在每个时刻t这个系统则必须由12个变量来描述了。但同样，我们可以用12维空间中的一个点来代替它。对于一些宏观物体，比如一只猫，它所包含的粒子可就太多了，假设有n个吧，不过这不是一个本质问题，我们仍然可以用一个6n维相空间中的质点来描述它。这样一来，一只猫在任意一段时期内的活动其实都可以等价为6n空间中一个点的运动（假定组成猫的粒子数目不变）。我们这样做并不是吃饱了饭太闲的缘故，而是因为在数学上，描述一个点的运动，哪怕是6n维空间中的一个点，也要比描述普通空间中的一只猫来得方便。在经典物理中，对于这样一个代表了整个系统的相空间中的点，我们可以用所谓的哈密顿方程去描述，并得出许多有益的结论。
  ——部分选自曹天元《量子物理史话》